KONVEKSNA ANALIZA

Beograd, 1990.

V (3+1) PU

Smer: N

1.

Afini skupovi i hiperravni. Pojam konveksnog skupa i osnovna svojstva. Relativna unutrašnjost. Teorema o razdvajanju konveksih skupova. Hiperravan oslonca. Krein-Millmanova teorema. Teoreme Carathodoryja, Radona, Hellyja, Krasnoseljskog, Junga, Minkowskog.

2.

Polarni skupovi. Konveksni konusi i njima polarni konusi. Teorema Hardy-Littlewood-Polya. Neprekidnost konveksnih funkcija. Funkcija oslonca i funkcija udaljenosti. Sistemi nejednakosti za konveksne funkcije. Minimax teorema von Neumanna. Konjugovane funkcije. Diferencijabilnost konveksnih funkcija. Subdiferencijal.

3.

Familije konveksnih skupova. Hausdorffova metrika. Blaschkeova teorema. Aproksimacija konveksinm polinomima. Izoperimetrijski problem.

4.

Simpleksi, kompleksi, simplicialne podele. Spernerova lema. Brouwerova teorema. Kakutanijeva teorema.

KOMPLEKSNE FUNKCIJE

Beograd, 1990.

VII (2+2) PU

Smer: N

1.

UVOD. Polje kompleksnih brojeva. Funkcije: konjugovana vrednost, imaginarni i realni deo, modul, argument (i njihove osobine). Trigonometrijski oblik kompleksnog broja.

2.

DIFERENCIJALNI RAČUN. Limes kompleksne funkcije. Neprekidnost. Izvod. Pojam holomorfnosti. R-diferencijabilnost i C-diferencijabilnost. Cauchy-Rieman-ovi uslovi. Konformnost. Neophodan i dovoljan uslov za konformnost. Pregled elementarnih funkcija i njihove osobine: linearna funkcija, bilinearna, stepena (zⁿ), eksponencijalna, trigonometrijske i hiperboličke. Pojam analitičke funkcije. Korena funkcija (ⁿÖ{z}), logaritamska i stepena ( z^a).

3.

INTEGRALNI RAČUN. Pojam putanje i krive. Pojam integrala duž glatke putanje (krive), važni primeri i osobine. Cauchy-jeva osnovna lema (teorema). Egzistencija primitivne funkcije u disku. Primitivna funkcija duž putanje i njena egzistencija. Newton-Leibnitz-ova formula. Pojam integrala holomorfne funkcije duž bilo koje putanje. Cauchy-jeva (velika) teorema i njene prve posledice. Cauchy-jeva integralna formula.

4.

TEORIJA REDOVA. Stepeni redovi i rekapitulacija osnovnih teorema. Razlaganje holomorfne funkcije i stepeni red. Holomorfnost sume stepenog reda. Egzistencija ostalih izvoda holomorfne funkcije. Morerina teorema. Razni pristupi pojmu holomorfnosti.

Laurent-ovi redovi. Razlaganje holomorfne funkcije u Laurent-ovred. Cauchy-jeve nejednakosti. Liuoville-ova teorema. Izolovanost nula holomorfnih funkcija. Teoreme o jedinosti.

Singulariteti i njihova klasifikacija. Reziduum i njegovo računanje. Teorema o reziduumu.

ANALIZA 3

Beograd, 1990.

V (2+2), VI (4+2) PU

Smer: N

1.

Uvodni pojmovi iz teorije skupova (kardinalni brojevi, aksioma izbora i sl.). Topološki prostori (pojam i deskriptivne osobine skupova; potprostori; koneksnost; separabilost; neprekidnost; topološki proizvod i kompaktnost; relacija topoloških i metričkih prostora).

2.

Osnovi teorije mere (Uvodni pojmovi; Lebegovo produženje mere; merljive funkcije; Lebegova i Lebeg-Stieltjesova mera na pravoj). Lebegov integral. Realna mera (Radon Nikodimov stav i slično). Proizvod mera i Fubinijeva teorema.

3.

Linearni prostori (pojam topoloških i vektorskih i lokalno-konveksnih prostora; normirani vektorski prostor; Hilbertov prostor). Prostori L^p. Han-Banahova teorema i posledice. Ograničeni linearni operatori u normiranim prostorima ( prostor OLO; princip konvergencije i princip uniformne ograničenosti; otvoreni operatori; zatvoreni operatori). Konjugovani prostor (ograničeni linearni funkcional, reprezentacija u nekim prostorima; slaba topologija; refleksibilnost).

4.

Hilbertov prostor (ortonormirane baze u HP; samokonjugovani operatori u HP; kompaktni operatori; rezolventa i spektar samokonjugovanog operatora). Pojam Banahove algebre. Nelinearni operatori (elementi diferencijalnog računa u normalnim prostorima; monotoni operatori). Osnovni pojmovi teorije aproksimacije.

NUMERIČKA ANALIZA 1

Beograd, 1990.

V (2+2), VI (2+2) PU

Smer: N

1.

INTERPOLACIJA. Opšti zadatak interpolacije: podeljene razlike; Njutnovi interpolacioni polinomi; optimizacija rasporeda čvorova; konvergencija interpolacionog procesa; Ermitov interpolacioni polinom; Splajn-interpolacija; trigonometrijski interpolacioni polinomi; interpolacija funkcija više nezavisno promenljivih.

2.

APROKSIMACIJA FUNKCIJA. Aproksimacija u linearnim normiranim prostorima; najbolja ravnomerna aproksimacija neprekidnih funkcija uopštenim polinomima; Harova teorema; Čebiševljeva teorema; algebarski polinomi najbolje aproksimacije; ocena veličine najbolje ravnomerne aproksimacije; priblino odredjivanje polinoma; aproksimacija u Hilbertovim prostorima; srednjekvadratna aproksimacija funkcija algebarskim polinomima; metoda najmanjih kvadrata; ortogonalni sistemi.

3.

NUMERIČKA INTEGRACIJA. Uvodna razmatranja; konvergencija kvadraturnog procesa optimizacija kvadraturnih formula; Rungeova ocena greške; Rombergove formule; Ričardsonova ekstrapolacija; integracija funkcija više promenljivih; metoda Monte-Karlo.

4.

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA. Metode proste iteracije; Njutnova metoda; modifikacija Njutnove metode; iterativne metode višeg reda; gradijentne metode.

5.

SISTEMI LINEARNIH ALGEBARSKIH JEDNAČINA. Neke napomene o metodi eliminacije; uslovljenost matrica; uticaj grešaka zaokrugljivanja na tačnost rezultata; uvodna razmatranja o iterativnim metodama; matoda proste iteracije s optimalnim izborom parametara: Ričardsonova metoda; gradijentne metode.

6.

PROBLEM SOPSTVENIH VREEDNOSTI MATRICA. Metode za odredjivanje karakterističnog polinoma; metoda interpolacije; metode Leverijea; metoda Krilova; metoda Danilevskog; iterativne metode za rešavanje potpunog problema sopstvenih vrednosti; delimičan problem sopstvenih vrednosti; metoda proizvoljnog vektora, metoda tragova, metoda skalarnog proizvoda, metoda iscrpljivanja.

MATEMATIČKO PROGRAMIRANJE

Beograd, 1990.

V (2+2), VI (2+2)

Smer: N

1.

LINEARNO PROGRAMIRANJE. Sistemi linearnih nejednačina. Teoreme alternative. Uslovi optimalnosti. Dualnosti. Simpleks i dualna simpleks metoda. Karamarkov metod. Osetljivost i parametarsko programiranje. Primene linearnog programiranja. Transportni problem i optimizacija na mrežama.

2.

NELINEARNO PROGRAMIRANJE. Konveksno programiranje. Kuhn-Tuckerove teoreme. Lagrangeova dualnost. Nekonveksno programiranje. Uslovi optimalnosti prvog i drugog reda. Metode bezuslovne optimizacije. Metod zlatnog preseka. Gradijenti. Njutnov i modifikovani Njutnov model. Metod konjugovanih gradijenata. Metode uslovne optimizacije. Metode kaznenih funkcija. Metod projekcije gradijenata. Frank-Wolferova metoda. Metoda odsecajućih ravni. Primene nelinearnog programiranja i pregled paketa programa za optimizaciju.

DIFERENCIJALNE I INTEGRALNE JEDNAČINE

Beograd, 1990.

V (2+2), VI (2+2)

Smer: N

Pogledati smer: Teorijska matematika i primene.

NACRTNA GEOMETRIJA

Beograd 1990.

V (2+2), VI (2+2)

Smer: M, N, V, R, L

Pogledati smer: Teorijska matematika i primene.

MATEMATIČKA LOGIKA

Beograd, 1990.

VI (2+0)  PU

Smer: N

1.

UVOD.

Hilbertovi sistemi. Iskazni račun. Predikatski račun. Peanova aritmetika, kodiranje. Tarskijeva definicija matematičke istine.

2.

TEORIJA ALGORITAMA. Pregled formalnih sistema izračunljivosti: Tjuringove mašine. Rekurzivne funkcije. Postov sistem. Ekvivalentnost sistema izračunljivosti. Church-ova teza. Odlučivi (izračunljivi) problemi u matematici. Univerzalne Tjuringove mašine, problem zaustavljanja i drugi primeri neodlučivih problema u matematici. Efektivna enumeracija rekurzivnih funkcija. Rekurzivni i rekurzivno nabrojivi skupovi.

3.

TEORIJA SLOŽENOSTI ALGORITAMA. Izračunljivost u polinomijalnom vremenu. Osnovni problemi teorijskog računarstva: P versus NP Coockova teorema o NP potpunosti iskaznog računa i drugi NP-kompletni problemi.

Beograd, 1990.

STRANI JEZIK 1

V (1+1), VI,(1+1) PU

Svi smerovi.

Pogledati smer: Teorijska matematika i primene.

Beograd, 1990.

UVOD U FILOSOFIJU

V (2+0), VI,(2+0) U

Svi smerovi.

Pogledati smer: Teorijska matematika i primene.

Beograd, 1990.

PEDAGOGIJA

VI (2+0) U

Svi smerovi.

Pogledati smer: Teorijska matematika i primene.

Beograd, 1990.

OPERACIONA ISTRAŽIVANJA

VII (2+2) PU

Smer: N

1.

PREDMET I METODE OPERACIONIH ISTRAŽIVANJA. Modeliranje raznnih problema prakse pri različitim nivoima informisanosti (na primerima).

2.

PROBLEM DISKRETNOG PROGRAMIRANJA. Agregacija. Problem ranca. Metod dinamičkog programiranja. Metode odsecajućih ravni,grananja i ograničavanja, implicitne enumeracije. Optimizacija na mrežama. Problemi maksimalnog toka, najkraćeg puta, pokrivanja, sparivanja minimalnog skeleta, trgovačkog putnika.

3.

ELEMENTI TEORIJE IGARA. Pozicione igre, matrične igre, nekooperativne igre. Igre na jediničnom kvadratu. Kooperativne igre.

JEDNAČINE MATEMATIČKE FIZIKE

Beograd, 1990.

VII (2+2), VIII (2+2) PU

Smer: N

1.

JEDNAČINE HIPERBOLIČKOG TIPA. Formiranje jednačine malih oscilacija žice i membrane. Integral energije. Egzistencija, jedinosti i korektnost rešenja Cauchy-evog problema za jednačinu u_tt = a²u_xx Neka fizička tumačenja rešenja Cauchy-evog problema. Rešenja Cauchy-evog problema nehomogene jednačine u_tt = a²+f(x, t). Egzistencija, jedinost i korektnost rešenja prvog konturnog problema za jednačinu u_tt = a²u_xx. Rešenje prvog konturnog problema nehomogene jednačine u_tt = a²u_xx+f(x, t). Rešavanje jednačne sa dve i više nezavisnih promenljivih: Cauchy-ev problem za jednačinu u_tt = a²(u_xx+u_yy+u_zz), prvi konturni problem za jednačinu u_tt = a²(u_xx+u_yy) .

2.

JEDNAČINE PARABOLIČKOG TIPA. Formiranje jednačine provodjenja toplote. Granični problemi. Princip maksimuma i njegove posledice. Egzistencija, jedinost i korektnost rešenja Cauchy-evog problema za jednačinu u_t = a²u_xx. Egzistencija, jedinost i korektnost prvog konurnog problema za jednačinu u_t = a²u_xx.

3.

JEDNAČINE ELIPTIČKOG TIPA. Formiranje i zadaci jednačine eliptičkog tipa. Fundamentalno rešenje Laplace-ove jednačine. Harmonijske funkcije i neke njihove osobine. Princip maksimuma i njegove posledice. Egzistencija, jedinost i korektnost rešenja Dirihlet-ovog problema (prvog konturnog zadatka) za krug. Poissonov integral. Green-ova funkcija i odredjivanje iste za poluprostor, krug, sferu. Rešenje Dirihlet-ovog problema metodom funkcije Green-a.

VEROVATNOĆA I STATISTIKA

Beograd, 1990.

Svi smerovi. VII (2+2), VIII (2+2) PU

Pogledati smer: Teorijska matematika i primene.

NUMERIČKA ANALIZA II Beograd, 1990.

Smer: N

VII (2+2), VIII (2+2)

1.

CAUCHYJEV PROBLEM ZA OBIČNE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE I NJIHOVE SISTEME. Analitičke metode. Euler-ova metoda. Metoda Runge-Kutta. Adams-ove metode. Runge-ova ocena greške. Richardson-ova ekstrapolacija. Automatski izbor koraka.

2.

KONTURNI PROBLEMI ZA OBIČNE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE. Svodjenje na Cauchy-jev problem. Varijacione i projekcione metode. Metoda konačnih razlika. Pojam diferencijalne sheme. Aproksimacija i konvergencija. Rešavanje diferencijalnog zadatka. Sheme povišene tačnosti. Problem lrm Strum-Liovillea. Metoda konačnih elemenata.

3.

KONTURNI PROBLEMI ZA PARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE. Jednačine eliptičkog tipa. Metoda mreža. Diferencijska shema "krst". Aproksimacija i konvergencija. Shema povišene tačnosti. Rešavanje diferencijalnog zadatka (direktne i iterativne metode). Metoda konačnih elemenata. Jendačine paraboličkog tipa: konstrukcija diferencijskih shema. Aproksimacija, stabilnost i konvergencija. Rešavanje diferencijskog zadatka. Ekonomičnost. Jednačina hiperboličkog tipa: konstrukcija diferencijskih shema. Aproksimacija, stablinost i konvergencija.

4.

INTEGRALNE JEDNAČINE. Fredholm-ove integralne jednačine prvi i druge vrste. Volterr-ove integralne jednačine prve i druge vrste. Analitičke metode. Projekcione metode. Metode diskretizacije. Metode reglarizacije.

VARIJACIONI RAČUN I OPTIMALNO UPRAVLJANJE

Beograd, 1990.

Smer: N VII (3+1), VIII (3+1) PU

1.

NAJJEDNOSTAVNIJI PROBLEM VARIJACIONOG RAČUNA.

Formulacija najjednostavnijeg problema varijacionog računa. Pojmovi slabog i jakog rešenja. Teorema o zaobljavanju preloma.

Neophodni uslovi prvog reda. Euler-ova jednačina. Pojam ekstremale. Hilbert-ova teorema. Weirstrass-ova nejednakost. Weirstrass-Erdmannovi uslovi.

Eulerova jednačina i konveksnost kao dovoljni uslovi ekstremuma.

Najjednostavniji problem varijacijanog računa s kvadratnim funkcionalom. Slučaj homogenih graničnih uslova. Neophodni i dovoljni uslovi da vrednost problema bude jednaka. Legendre-ov i Jacobi-jev uslov. Opšti slučaj.

Neophodni i dovoljni uslovi drugog reda.

Teorija polja. Pojam polja koje odgovara integrantu. Trajektorije polja. Weierstrass-ovo polje. Dovoljan uslov za jak ekstremum. Dovoljan uslov za slab ekstremum.

2.

DIFERENCIJALNI I NORMIRANI RAČUN U NORMIRANIM PROSTORIMA.

Diferenciranje vektorskih funkcija realne promenjljive. Pojam izvoda i osnovna svojstva. Analogoni teorema o srednjoj vrednosti. Taylor-ova formula.

Diferenciranje vektorskih funkcija realne promenljive. Pojmovi slabog, jakog i strogog izvoda i osnovna svojstva. Analogoni teorema o srednjoj vrednosti. Parcijalni izvodi. Teorema o implicitnoj funkciji.

Reimann-ov integral vektorske funkcije definisane na otsečku realne prave. Pojam i osnovna svojstva. Egzistencija integrala. Newton - Leibnitz-ova formula, teorema o smeni promenljive i teorema o parcijalnoj integraciji.

Prostor Cⁿ_k[t₀,t₁]. Ekvivalentnost različitih normi. Komplentost. Reprezentacija linearnog funkcionala. Operator Nemytzkog. Operator evaluacije.

3.

OPŠTI BOLZIN PROBLEM.

Gladak ekstremalni problem sa ograničenjima tipa jednakosti i nejednakosti. Neophodan uslov ekstremuma - Lagrange-ov princip. Dovoljan uslov ekstremuma.

Opšti Bolzin problem varijacionog računa na fiksiranom intervalu. Neophodan uslov ekstremuma - Lagrange-ov princip. Dovoljan uslov ekstremuma.

Opšti Bolzin problem optimalnog upravljanja na fiksnom intervalu. Neophodan uslov ekstremuma - princip maksimuma Pontrjagina. Dovoljan uslov ekstremuma.

Primena opšte teorije na najjednostavniji problem varijacionog računa.

NUMERIČKE METODE OPTIMIZACIJE

Beograd, 1990.

Smer: N; VII (2+2), VIII (2+2) PU

1.

Metodi minimizacije u funkcionalnim prostorima : Gradijentni metod i njemu srodni metodi; Dopustivi pravci; NJutnov metod; Lagranžeovi množioci; Kaznene funkcije.

2.

Neophodni i dovoljni uslovi ekstrema.

3.

Teoreme egzistencije Vajerštrasovog tipa u funkcionalnim prostorima.

4.

Metode minimizacije u funkcionalnim prostorima bazirane na neophodnim uslovima.

5.

Aproksimacija zadataka optimalnog upravljanja običnim i parcijalnim diferencijalnim jednačinama : Difernene aproksimacije zadataka optimalnog upravljanja; Aproksimacije metodom konačnog elementa; Opšti uslovi aproksimacije, konvergencija i ocena greške; Aproksimacija kvadratnih zadataka sa faznim ograničenjima.

6.

Regularizacija zadataka optimizacije : Opšti pojmovi regularizacije; Primeri regularizovanih zadataka; Regularizacija aproksimacije zadataka optimalnog upravljanja.

METODIKA NASTAVE MATEMATIKE I RAČUNARSTVA

Beograd, 1990.

Smer: M, N, V, R, L

VII (2+0), VIII (2+0) U

Pogledati smer: Teorijska matematika i primene.

STRANI JEZIK 2

Beograd, 1990.

Svi smerovi. VII (1+1), VIII (1+1) PU

Pogledati smer: Teorijska matematika i primene.

VIŠEKRITERIJUMSKA OPTIMIZACIJA

Beograd, 1990.

VII (2+2), VIII (2+2) PU

Smer: N, izborni predmet.

1.

Zadatak višekriterijumskog programiranja i definicija - rešenja.

2.

Skalarizacija višekriterijumskog programiranja.

3.

Definicija SLABOG PARETO S(f,x), PARETO P(f,x) i GEOFRIONOVA G(f,x) rešenja.

4.

Karakterizcija P(f,x) u linearnom slučaju.

5.

Leksikografska optimizacija.

6.

Egzistencija rešenja (neophodni i dovoljni uslovi za G rešenja).

7.

Potpuna karakterizacija rešenja u linearnom slučaju.

8.

Dualnost za višekriterijumsko programiranje.

9.

Skalarna slaba dualnost.

10.

Vektorska slaba dualnost.

11.

Jaka dualnost.

PARCIJALNE JEDNAČINE

Beograd, 1990.

VIII (2+0) PU

Smer: N

0.

UVOD.

1.

OSNOVNI POJMOVI TEORIJE DISTRIBUCIJA. Skup osnovnih funkcija D i skup distribucija D^˘. Kompletnost prostora D^˘. Nosač distribucije. Regularne i singularne distribucije. Smena promenljivih. Proizvod funkcije i distribucije. Primitivna funkcija. Direktan proizvod distribucija. Konvolucija distribucija. Egzistencija konvolucije. Algebra D^˘₊. Regularizacija distribucija. Newton-ov potencijal. Distribucija spornog rasta. Struktura distribucija sa tačkastim nosačem. Direktan proizvod i konvolucija. Fourier-ova transformacija distribucija spornog rasta. Definicija i osnovne osobine.

2.

PROSTORI SOBOLJEVA Prostori integrabilnih funkcija. Prostori Soboljeva H^kW. Usredjene funkcije. Produženje funkcije sa očuvanjem klase.

Separabilnost H^k(W). Prostori °H¹W.

Trag funkcije. Neprekidnost traga. Parcijalna integracija. Kompaktni skupovi u prostorima Soboljeva.

Ekvivalentne norme u H¹W i °H¹W.

Integralna reprezentacija funkcija iz H^kW. Teoreme potapanja.

3.

GRANIČNI PROBLEMI ZA LINEARNE PARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNAČNE (ELIPTIČKOG TIPA) Klasična i generalisana rešenja graničniih problema. Egzistencija generalisanog rešenja u najjednostavnijem slučaju.

Sopstvene vrednosti i sopstvene funkcije.

Egzistencija generalisanog rešenja u slučaju homogenog graničnog uslova.

Nehomogeni granični problem.

Glatkost generalisanog rešenja.